Giải tích Ví dụ

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Bước 1.2

Vì $\frac{1}{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y}{x}$ đối với $y$ là $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Bước 1.4

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.2.2

Vì $y^{3}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{3}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Bước 2.4

Trừ $\frac{1}{x}$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $\frac{1}{x}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- \frac{1}{x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- \frac{1}{x}$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $\frac{1}{x}$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Bước 4.3

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Bước 4.3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Bước 4.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Bước 4.3.4

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Bước 4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Bước 4.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 \frac{1}{y}$

Bước 4.3.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Bước 4.3.7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Bước 5.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.5

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Bước 5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn $- 2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Bước 5.6.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Bước 5.6.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{- 2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Bước 5.6.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 6.2

Kết hợp.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $y^{3} - \ln (x)$ với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $y^{3} - \ln (x)$ với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $\frac{1}{y}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{y}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Bước 8.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 11

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)] = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Viết lại.

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 12.1.2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Bước 12.1.2.2

Vì $\frac{1}{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y}{x}$ đối với $y$ là $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 12.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Bước 12.1.2.4

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Bước 12.1.3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Bước 12.1.3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 12.1.3.2.2

Vì $y^{3}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{3}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 12.1.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 12.1.3.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Bước 12.1.3.4

Trừ $\frac{1}{x}$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Bước 12.1.4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.1

Thế $\frac{1}{x}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- \frac{1}{x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Bước 12.1.4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ không phải là một đẳng thức.

Bước 12.1.5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.5.1

Thay $- \frac{1}{x}$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 12.1.5.2

Thay $\frac{1}{x}$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Bước 12.1.5.3

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.5.3.1

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Bước 12.1.5.3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Bước 12.1.5.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Bước 12.1.5.3.4

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Bước 12.1.5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Bước 12.1.5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 \frac{1}{y}$

Bước 12.1.5.3.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Bước 12.1.5.3.7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Bước 12.1.5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Bước 12.1.6

Tính $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Bước 12.1.6.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Bước 12.1.6.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 12.1.6.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 12.1.6.5

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Bước 12.1.6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.6.6.1

Rút gọn $- 2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Bước 12.1.6.6.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Bước 12.1.6.6.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{- 2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Bước 12.1.6.6.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Bước 12.1.7

Nhân cả hai vế của $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.7.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 12.1.7.2

Kết hợp.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 12.1.7.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.7.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 12.1.7.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.7.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 12.1.7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 12.1.7.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Bước 12.1.7.4

Nhân $y^{3} - \ln (x)$ với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Bước 12.1.7.5

Nhân $y^{3} - \ln (x)$ với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Bước 12.1.8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Bước 12.1.9

Lấy tích phân $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.9.1

Vì $\frac{1}{y}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{y}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Bước 12.1.9.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Bước 12.1.9.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.9.3.1

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Bước 12.1.9.3.2

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Bước 12.1.10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Bước 12.1.11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.12.1

Rút gọn $\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.12.1.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.12.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.12.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.1.2

Nhân $\frac{1}{y}$ với $\frac{\ln (| x |)}{y} + g y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + g y}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.12.1.2.1

Để viết $g y$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + \frac{g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.2.3

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.12.1.2.3.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g (y \cdot y)}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.2.3.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.4

Nhân $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.12.1.4.1

Nhân $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}$ với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y \cdot y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.4.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.4.3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y^{1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1 + 1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.12.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Bước 12.1.13

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ với $y^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.13.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ với $y^{2}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Bước 12.1.13.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.13.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.13.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Bước 12.1.13.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Bước 12.1.13.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.13.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.13.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Bước 12.1.13.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| x |) + g y^{2} = y^{3} - \ln (x)$

Bước 12.1.14

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| x |) + \ln (x) = - g y^{2} + y^{3}$

Bước 12.1.15

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| x | x) = - g y^{2} + y^{3}$

Bước 12.1.16

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (| x | x)$ .

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- g y^{2} + y^{3}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$ .

$\int \ln (x | x |) d y = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Bước 13.2

Viết lại.

$0 + 0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Bước 13.3

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Bước 13.4

Tính $\int \ln (x | x |) d y$ .

$g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Bước 13.5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int - g y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Bước 13.6

Vì $- g$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- g$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - g \int y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Bước 13.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y^{3} d y$

Bước 13.8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 13.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 13.10

Rút gọn.

$g (y) = - \frac{y^{3} g}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 13.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.11.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} g) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 13.11.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3}) g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 13.11.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $y^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{y^{3}}{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 15.2

Kết hợp $g$ và $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 15.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4} + C$