Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{- 4 x} - 4 y$

Bước 1

Cộng $4 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = x^{2} e^{- 4 x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 4 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{4 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{4 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (x^{2} e^{- 4 x})$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (x^{2} e^{- 4 x})$

Bước 3.3

Nhân $e^{4 x}$ với $e^{- 4 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển $e^{- 4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{- 4 x} e^{4 x} x^{2}$

Bước 3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{- 4 x + 4 x} x^{2}$

Bước 3.3.3

Cộng $- 4 x$ và $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{0} x^{2}$

Bước 3.4

Rút gọn $e^{0} x^{2}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = x^{2}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = x^{2}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = x^{2}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = x^{2}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int x^{2} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{4 x} y = \int x^{2} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{4 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ cho $e^{4 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{4 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ cho $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Bước 8.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Bước 8.3.1.3

Kết hợp.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Bước 8.3.1.4

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$