Giải tích Ví dụ

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ cho $x y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ cho $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Bước 1.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Bước 1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Bước 1.1.2.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1} \cdot \frac{1}{x y}$

Bước 1.1.3.2

Nhân $\frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ với $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (x y)}$

Bước 1.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $y (y + 1)$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = y (y + 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y \cdot y + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Bước 1.4.2

Nhân $y$ với $y$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Bước 1.4.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Bước 1.4.4

Nhân $\frac{x^{2} + 1}{x}$ với $\frac{1}{y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) \frac{x^{2} + 1}{x (y (y + 1))}$

Bước 1.4.5

Nhân $y^{2} + y$ với $\frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Bước 1.4.6

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Bước 1.4.6.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y^{1}) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Bước 1.4.6.3

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y \cdot 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Bước 1.4.6.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot y + y \cdot 1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Bước 1.4.7

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Bước 1.4.7.2

Viết lại biểu thức.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Bước 1.4.8

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Bước 1.4.8.2

Viết lại biểu thức.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$y (y + 1) d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y (y + 1) d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $y (y + 1)$ .

$\int y \cdot y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{1} y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2.2.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{1} y^{1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{1 + 1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int y^{2} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$\int y^{2} + y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$