Giải tích Ví dụ

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$ cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 1.3

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{\cos (x)} y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{\cos (x)} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$e^{\int \sec (x) d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (\sec (x) + \tan (x))}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\sec (x) + \tan (x)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\sec (x) + \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\sec (x) + \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{\cos (x)}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.5.2

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.6

Kết hợp $\frac{1}{\cos (x)}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.8

Nhân $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.8.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.8.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.9

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.1

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ với $\frac{y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.9.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.9.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.9.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.2.9.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = (\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.3.2

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.5

Nhân $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.5.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.5.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.6

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ với $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Bước 3.6.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 3.6.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 3.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

Bước 3.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

Bước 3.6.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 3.6.7

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 3.6.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

Bước 3.6.9

Cộng $1$ và $1$ .

Bước 3.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Tách các phân số.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.3

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.4

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.5

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\frac{d y}{d x}}{1} \tan (x) + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.6

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.7

Nhân với $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.8

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.9

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{1} \sec^{2} (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.10

Chia $y$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.11

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.12

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.13

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.14

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.15

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.16

Chia $y$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.8.2

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.8.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.8.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.8.5

Quy đổi từ $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ sang $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 3.9

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 7.2

Vì đạo hàm của $\sec (x)$ là $\sec (x) \tan (x)$ , tích phân của $\sec (x) \tan (x)$ là $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 7.3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Bước 7.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 7.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 7.6

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \tan (x) + C$

Bước 7.7

Rút gọn.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ cho $\sec (x) + \tan (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ cho $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (x) + \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 8.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\sec (x) - x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 8.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 8.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x) + C}{\sec (x) + \tan (x)}$