Giải tích Ví dụ

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Bước 1.2

Vì $\frac{1}{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y}{x}$ đối với $y$ là $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Bước 1.4

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + \ln (| x |)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Bước 2.2.2

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = | x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Bước 2.3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $| x |$ đối với $x$ là $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Bước 2.3.3

Nhân $\frac{1}{| x |}$ với $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Bước 2.3.4

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Bước 2.3.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Bước 2.3.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Bước 2.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Bước 2.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $0$ và $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Bước 2.4.2

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Bước 2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Bước 2.4.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 2.4.3.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Bước 2.4.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Bước 2.4.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $\frac{1}{x}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\frac{1}{x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = \frac{y}{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Bước 5.3

Rút gọn.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 8

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Viết lại.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Bước 9.1.2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Bước 9.1.2.2

Vì $\frac{1}{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y}{x}$ đối với $y$ là $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 9.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Bước 9.1.2.4

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Bước 9.1.3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Bước 9.1.3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + \ln (| x |)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Bước 9.1.3.2.2

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Bước 9.1.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = | x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Bước 9.1.3.3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Bước 9.1.3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Bước 9.1.3.3.2

Đạo hàm của $| x |$ đối với $x$ là $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Bước 9.1.3.3.3

Nhân $\frac{1}{| x |}$ với $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Bước 9.1.3.3.4

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Bước 9.1.3.3.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Bước 9.1.3.3.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Bước 9.1.3.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Bước 9.1.3.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Bước 9.1.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.4.1

Cộng $0$ và $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Bước 9.1.3.4.2

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Bước 9.1.3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.4.3.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Bước 9.1.3.4.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 9.1.3.4.3.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.4.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Bước 9.1.3.4.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Bước 9.1.3.4.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Bước 9.1.4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Thế $\frac{1}{x}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\frac{1}{x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Bước 9.1.4.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ là một đẳng thức.

Bước 9.1.5

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Bước 9.1.6

Lấy tích phân $M (x, y) = \frac{y}{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.6.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Bước 9.1.6.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Bước 9.1.6.3

Rút gọn.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Bước 9.1.7

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Bước 9.1.8

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9.1.9

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.9.1

Rút gọn $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.9.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9.1.9.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9.1.9.1.2

Nhân $\frac{1}{y}$ với $y \ln (| x |) + g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9.1.9.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \ln (| x |) + g y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.9.1.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \ln (| x |)$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9.1.9.1.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9.1.9.1.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \ln (| x |) + y g$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9.1.9.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.9.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9.1.9.1.4.2

Chia $\ln (| x |) + g$ cho $1$ .

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

Bước 9.1.10

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

Bước 9.1.11

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Bước 9.1.12

Triệt tiêu thừa số chung $| x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Bước 9.1.12.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

Bước 9.1.13

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$0 = - g + y^{2}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- g + y^{2}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $0 = - g + y^{2}$ .

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

Bước 10.2

Tính $\int 0 d y$ .

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

Bước 10.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

Bước 10.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 10.6

Rút gọn.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$