Giải tích Ví dụ

$2 x e^{2 t} d t + (1 + e^{2 t}) d x = 0$

Bước 1

Trừ $2 x e^{2 t} d t$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(1 + e^{2 t}) d x = - 2 x e^{2 t} d t$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x}$ .

$\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (1 + e^{2 t}) d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + e^{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 + e^{2 t}$ ra ngoài $(1 + e^{2 t}) x$ .

$\frac{1}{(1 + e^{2 t}) (x)} (1 + e^{2 t}) d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (1 + e^{2 t}) d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{x} d x = - 2 \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (x e^{2 t}) d t$

Bước 3.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{(1 + e^{2 t}) x} (x e^{2 t}) d t$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $(1 + e^{2 t}) x$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{x (1 + e^{2 t})} (x e^{2 t}) d t$

Bước 3.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $x e^{2 t}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{x (1 + e^{2 t})} (x (e^{2 t})) d t$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{x (1 + e^{2 t})} (x e^{2 t}) d t$

Bước 3.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{1 + e^{2 t}} e^{2 t} d t$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{- 2}{1 + e^{2 t}}$ và $e^{2 t}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Bước 3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Bước 4.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (2 \int \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t)$

Bước 4.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Bước 4.3.4

Giả sử $u_{2} = 1 + e^{2 t}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 e^{2 t} d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 t} d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + e^{2 t}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1.1

Tính đạo hàm $1 + e^{2 t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]$

Bước 4.3.4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{2 t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Bước 4.3.4.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Bước 4.3.4.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 4.3.4.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 4.3.4.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t$ .

$0 + e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 4.3.4.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.3.4.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + e^{2 t} (2 \cdot 1)$

Bước 4.3.4.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + e^{2 t} \cdot 2$

Bước 4.3.4.1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 t}$ .

$0 + 2 e^{2 t}$

Bước 4.3.4.1.4

Cộng $0$ và $2 e^{2 t}$ .

$2 e^{2 t}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 4.3.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 4.3.9

Rút gọn.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 4.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + e^{2 t}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \ln (| 1 + e^{2 t} |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| x |) = - \ln (| 1 + e^{2 t} |) + C$