Giải tích Ví dụ

$2 x y + (1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 0$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x y + 1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1.1.1.2

Nhân $\frac{d y}{d x}$ với $1$ .

$2 x y + \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1.1.2

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Bước 1.1.3

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Bước 1.1.3.2

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x y$

Bước 1.1.3.3

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$

Bước 1.1.4

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ cho $1 + x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ cho $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Bước 1.4.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Bước 1.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Bước 1.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3.4

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.4.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 2.3.4.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 + x^{2} |) = C$

Bước 3.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| y (1 + x^{2}) |) = C$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y \cdot 1 + y x^{2} |) = C$

Bước 3.5

Nhân $y$ với $1$ .

$\ln (| y + y x^{2} |) = C$

Bước 3.6

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y + y x^{2} |)} = e^{C}$

Bước 3.7

Viết lại $\ln (| y + y x^{2} |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y + y x^{2} |$

Bước 3.8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y + y x^{2} | = e^{C}$ .

$| y + y x^{2} | = e^{C}$

Bước 3.8.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y + y x^{2} = \pm e^{C}$

Bước 3.8.3

Đưa $y$ ra ngoài $y + y x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + y x^{2} = \pm e^{C}$

Bước 3.8.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2}$ .

$y \cdot 1 + y (x^{2}) = \pm e^{C}$

Bước 3.8.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (x^{2})$ .

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$

Bước 3.8.4

Chia mỗi số hạng trong $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ cho $1 + x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ cho $1 + x^{2}$ .

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Bước 3.8.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Bước 3.8.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ .

$1 = \frac{C}{1 + 0^{2}}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$ .

$\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $1 + 0^{2}$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Bước 6.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.1.2

Cộng $1$ và $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$(1 + 0) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$1 \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.2.3

Nhân $\frac{C}{1}$ với $1$ .

$\frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.2.4

Chia $C$ cho $1$ .

$C = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn $(1 + 0^{2}) \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$C = (1 + 0) \cdot 1$

Bước 6.3.2.1.2

Cộng $1$ và $0$ .

$C = 1 \cdot 1$

Bước 6.3.2.1.3

Nhân $1$ với $1$ .

$C = 1$

Bước 7

Thay $1$ cho $C$ trong $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $1$ bằng $C$ .

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$