Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tách phân số $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Bước 1.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Bước 1.1.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Bước 1.1.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Bước 1.1.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Bước 1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Bước 1.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

Bước 1.2

Giả sử $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

Bước 1.3

Kết hợp $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ và $\sqrt{y^{2}}$ vào một căn thức đơn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

Bước 1.4

Tách $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tách phân số $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Bước 1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $f (\frac{y}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết lại $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ ở dạng ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

Bước 1.5.2

Viết lại $\frac{x}{y}$ ở dạng ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn $V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(V^{- 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

Bước 6.1.1.1.1.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

Bước 6.1.1.1.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

Bước 6.1.1.1.1.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

Bước 6.1.1.1.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

Bước 6.1.1.1.1.5

Viết lại $\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1.5.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $1 + V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

Bước 6.1.1.1.1.5.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $V^{2}$ ra ngoài $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

Bước 6.1.1.1.1.5.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

Bước 6.1.1.1.1.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

Bước 6.1.1.1.1.7

Kết hợp $\frac{1}{V}$ và $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Bước 6.1.1.1.2

Để viết $V$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{V}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Bước 6.1.1.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Bước 6.1.1.1.4

Nhân $V$ với $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Bước 6.1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Bước 6.1.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Tách phân số $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ thành hai phân số.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Bước 6.1.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $V^{2}$ và $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.2.1

Đưa $V$ ra ngoài $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Bước 6.1.1.2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.2.2.1

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Bước 6.1.1.2.2.2.2.2

Đưa $V$ ra ngoài $V^{1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Bước 6.1.1.2.2.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Bước 6.1.1.2.2.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Bước 6.1.1.2.2.2.2.5

Chia $V$ cho $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Bước 6.1.1.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.3.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

Bước 6.1.1.2.3.2

Cộng $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ và $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2

Kết hợp.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Bước 6.1.1.3.3.3

Nhân $\sqrt{1 + V^{2}}$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

Bước 6.1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Nhân $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.2.1

Nhân $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.2

Nâng $\sqrt{1 + V^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.3

Nâng $\sqrt{1 + V^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.6

Viết lại ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ ở dạng $1 + V^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + V^{2}}$ ở dạng ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2.6.5

Rút gọn.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.3

Kết hợp.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Bước 6.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.4.1

Đưa $V$ ra ngoài $V \sqrt{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Bước 6.1.4.4.2

Đưa $V$ ra ngoài $V x$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

Bước 6.1.4.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Bước 6.1.4.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

Bước 6.1.4.5

Nhân $\sqrt{1 + V^{2}}$ với $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Bước 6.1.4.6

Nhân $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ với $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.7

Nâng $\sqrt{1 + V^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.8

Nâng $\sqrt{1 + V^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.10

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.11

Viết lại ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ ở dạng $1 + V^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.11.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + V^{2}}$ ở dạng ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.11.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.11.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.11.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.11.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.11.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.11.5

Rút gọn.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.12

Triệt tiêu thừa số chung $1 + V^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Bước 6.1.4.12.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giả sử $u = 1 + V^{2}$ . Sau đó $d u = 2 V d V$ , nên $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Hãy đặt $u = 1 + V^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Bước 6.2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + V^{2}$ đối với $V$ là $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Bước 6.2.2.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $V$ , đạo hàm của $1$ đối với $V$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Bước 6.2.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ là $n V^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Bước 6.2.2.1.1.5

Cộng $0$ và $2 V$ .

$2 V$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.6.1

Viết lại $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6.2.3

Nhân $u^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + V^{2}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.2

Rút gọn.

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Bước 6.3.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

Bước 6.3.3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

Bước 6.3.3.3

Rút gọn $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

Bước 6.3.3.3.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \ln (| x |) + C$ và $b = 1$ .

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Bước 6.3.3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Bước 6.3.3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.