Giải tích Ví dụ

$(y x - y) d y - (y + 1) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = - (y + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y + 1)]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- (y + 1)$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Bước 2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Bước 2.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x - y]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [y x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $y x$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 3.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $- 1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = y$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$- 1 = y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $- 1$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y + 1}{M}$

Bước 5.3

Thay $- (y + 1)$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $- (y + 1)$ bằng $M$ .

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Bước 5.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- 1}$

Bước 5.3.2.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 5.3.3

Thay $- (y + 1)$ bằng $M$ .

$- 1$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int - 1 d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Bước 6.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- (y + 1)$ với $e^{- y}$ .

$- (y + 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- y - 1 \cdot 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(- y - 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- y e^{- y} - 1 e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Bước 7.5

Viết lại $- 1 e^{- y}$ ở dạng $- e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Bước 7.6

Nhân $y x - y$ với $e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) e^{- y} d y = 0$

Bước 7.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x e^{- y} - y e^{- y}) d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y e^{- y} - e^{- y} d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = - y e^{- y} - e^{- y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $(- y e^{- y} - e^{- y}) x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- y e^{- y} - e^{- y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y e^{- y}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x (- \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = e^{- y}$ .

$x (- (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- y$ .

$x (- (y (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.9

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- e^{- y}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - \frac{d}{d y} [e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.10.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.10.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.10.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (- (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.14

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- y}$ .

$x (- (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.15

Viết lại $- 1 e^{- y}$ ở dạng $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.16

Nhân $e^{- y}$ với $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.17

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} \cdot - 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.18

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (- 1 \cdot e^{- y})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.19

Viết lại $- 1 e^{- y}$ ở dạng $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - - e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.20

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + 1 e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.3.21

Nhân $e^{- y}$ với $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (- (y (- e^{- y})) - e^{- y} + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (- (y (- e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (1 (y (e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.5.3.2

Nhân $y$ với $1$ .

$x (y e^{- y}) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.5.3.3

Cộng $x (- e^{- y})$ và $x e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.3.3.1

Sắp xếp lại $x$ và $- 1$ .

$x y e^{- y} - 1 \cdot x e^{- y} + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.5.3.3.2

Cộng $- 1 \cdot x e^{- y}$ và $x e^{- y}$ .

$x y e^{- y} + 0 + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.5.3.4

Cộng $x y e^{- y}$ và $0$ .

$x y e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 12.5.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} + x y e^{- y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Trừ $x y e^{- y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$

Bước 13.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $y x e^{- y}$ và $- x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{- y} x y - y e^{- y} - e^{- y} x y$

Bước 13.1.2.2

Trừ $e^{- y} x y$ khỏi $e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y} + 0$

Bước 13.1.2.3

Cộng $- y e^{- y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $- y e^{- y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Bước 14.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Bước 14.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Bước 14.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Bước 14.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Bước 14.6.2

Nhân $\int e^{- y} d y$ với $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Bước 14.7

Giả sử $u = - y$ . Sau đó $d u = - d y$ , nên $- d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.7.1

Hãy đặt $u = - y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.7.1.1

Tính đạo hàm $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Bước 14.7.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Bước 14.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 14.7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 14.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Bước 14.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Bước 14.9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Bước 14.10

Viết lại $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ ở dạng $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Bước 14.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Bước 14.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Bước 14.12.2

Nhân $- (- y e^{- y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.12.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Bước 14.12.2.2

Nhân $y$ với $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Bước 14.12.3

Nhân $- - e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.12.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Bước 14.12.3.2

Nhân $e^{- y}$ với $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Bước 15

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Bước 16

Rút gọn $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Bước 16.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = - y x e^{- y} - x e^{- y} + y e^{- y} + e^{- y} + C$