Giải tích Ví dụ

$d x - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = 0$

Bước 1

Trừ $d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Bước 2.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Bước 2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - 1 d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - 1 d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \arctan (y) + C_{1} = - x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \arctan (y) = - x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \arctan (y) = - x + K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- \arctan (y) = - x + K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.2.2

Chia $\arctan (y)$ cho $1$ .

$\arctan (y) = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\arctan (y) = \frac{x}{1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\arctan (y) = x + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{K}{- 1}$ .

$\arctan (y) = x - 1 \cdot K$

Bước 3.1.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot K$ ở dạng $- K$ .

$\arctan (y) = x - K$

Bước 3.2

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (x - K)$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \tan (x + K)$