Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 1.3

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3 x + 1}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{3 x + 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x + 1}{x} y = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{3 x + 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{3 x + 1}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{3 x + 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$e^{\int \frac{3 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.3.2

Chia $3$ cho $1$ .

$e^{\int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{3 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{3 x + C + \ln (| x |) + C}$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$e^{3 x + \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{3 x + \ln (x)}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{3 x + \ln (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} (\frac{3 x + 1}{x} y) = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{3 x + 1}{x}$ và $y$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} \frac{(3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.2.2

Kết hợp $e^{3 x + \ln (x)}$ và $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.3

Để viết $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $e^{3 x + \ln (x)}$ ra ngoài $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Đưa $e^{3 x + \ln (x)}$ ra ngoài $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.5.1.2

Đưa $e^{3 x + \ln (x)}$ ra ngoài $e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.5.1.3

Đưa $e^{3 x + \ln (x)}$ ra ngoài $e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + 1 y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.5.3

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.6

Nhân $e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Kết hợp $e^{3 x + \ln (x)}$ và $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x)} e^{- 3 x}}{x}$

Bước 3.6.2

Nhân $e^{3 x + \ln (x)}$ với $e^{- 3 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x) - 3 x}}{x}$

Bước 3.6.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x + \ln (x) - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{0 + \ln (x)}}{x}$

Bước 3.6.2.2.2

Cộng $0$ và $\ln (x)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{\ln (x)}}{x}$

Bước 3.7

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Bước 3.8

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Bước 3.8.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$

Bước 3.9

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 3 x y + y)}{x} = 1$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] = 1$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] d x = \int d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{3 x + \ln (x)} y = \int d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ cho $e^{3 x + \ln (x)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ cho $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{3 x + \ln (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$