Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x e^{x} + 6 x^{2}$

Bước 1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Bước 2

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Bước 2.4

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 2.5

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 2.6

Nhân $y$ với $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Bước 6.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Bước 6.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 e^{x} x d x$

Bước 6.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int e^{x} x d x$

Bước 6.5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Bước 6.6

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Bước 6.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Rút gọn.

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 6.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 6.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 6.7.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 6.7.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 6.7.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 6.7.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.1.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.1.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.1.1.2.5

Chia $2 x^{2}$ cho $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.1.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x e^{x} - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.1.2.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x + e^{x} \cdot - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.1.2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} (x - 1))}{x} + \frac{C}{x}$

$y = 2 x^{2} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.2

Để viết $2 x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{2} x}{x} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Bước 7.3.5

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.5.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Bước 7.3.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Bước 7.3.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Bước 7.3.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Bước 7.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x + 2 e^{x} \cdot - 1 + C}{x}$

Bước 7.3.6.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$

Bước 7.3.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{x}$