Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y + e^{y}$ .

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (y + e^{y}) \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y + e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (y + e^{y}) \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = x - e^{- x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(y + e^{y}) d y = (x - e^{- x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y + e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y d y + \int e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Bước 2.2.3

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int x - e^{- x} d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \int x - e^{- x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \int x d x + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int e^{- x} d x$

Bước 2.3.4

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3.4.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.3.4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int - e^{u} d u$

Bước 2.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - - \int e^{u} d u$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + 1 \int e^{u} d u$

Bước 2.3.6.2

Nhân $\int e^{u} d u$ với $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int e^{u} d u$

Bước 2.3.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + e^{u} + C_{5}$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{u} + C_{6}$

Bước 2.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{- x} + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{- x} + K$