Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 3 x^{6} + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 3 x^{6}$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + 4 x}{x^{2}} d x$

Bước 3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $4 x$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4}{x^{2}} d x$

Bước 3.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x^{2}} d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 5 e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Bước 5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Bước 6

Giả sử $u = 6 x$ . Sau đó $d u = 6 d x$ , nên $\frac{1}{6} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = 6 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 6.1.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $6$ với $1$ .

$6$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Bước 7

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{1}{6} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $5$ .

$\frac{5}{6} \int e^{u} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Bước 11

Chia $- 3 x^{5} + 4$ cho $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 11.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 3 x^{5}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 11.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Bước 11.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 3 x^{5} + 0$

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Bước 11.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Bước 11.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

Bước 11.7

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} + \frac{4}{x} d x$

Bước 12

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Bước 13

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 \int x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Bước 15

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Bước 16

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 17

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 (\ln (| x |) + C)$

Bước 18

Rút gọn.

$\frac{5 e^{u}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Bước 19

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x$ .

$\frac{5 e^{6 x}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Bước 20

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Bước 21

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$