Giải tích Ví dụ

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.

Để viết ${\displaystyle -1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Kết hợp các phân số.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle x+3}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[3\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Vì ${\displaystyle 3}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle 3}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Rút gọn biểu thức.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=\frac{1}{3}}$.

Để viết ${\displaystyle -1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ và ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

Kết hợp ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ và ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{3}}$.

Di chuyển ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Để viết ${\displaystyle \frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}$.

Để viết ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{2}{3}}}{3x^{\frac{2}{3}}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$.

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\displaystyle 3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}}$, bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của ${\displaystyle 1}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Nhân ${\displaystyle x^{\frac{1}{3}}}$ với ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Rút gọn ${\displaystyle 2x^1}$.

Nhân ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ với ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Rút gọn ${\displaystyle {(x+3)}^1}$.

Cộng ${\displaystyle 2x}$ và ${\displaystyle x}$.

Đưa ${\displaystyle 3}$ ra ngoài ${\displaystyle 3x}$.

Đưa ${\displaystyle 3}$ ra ngoài ${\displaystyle 3}$.

Đưa ${\displaystyle 3}$ ra ngoài ${\displaystyle 3\left(x\right)+3\left(1\right)}$.

Triệt tiêu các thừa số chung.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ là ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x+1}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Tìm đạo hàm.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.