Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (4 - x^{2} + 2 x^{4})$ , $x = 1$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $1$ vào cho $x$ .

$y = \ln (4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \ln (4 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Bước 1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \ln (4 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Bước 1.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \ln (4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Bước 1.2.4

Rút gọn $\ln (4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \ln (4 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Bước 1.2.4.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \ln (4 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Bước 1.2.4.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \ln (4 - 1 + 2 \cdot 1)$

Bước 1.2.4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \ln (4 - 1 + 2)$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$y = \ln (3 + 2)$

Bước 1.2.4.2.2

Cộng $3$ và $2$ .

$y = \ln (5)$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = \ln (5)$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x^{2} + 2 x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Bước 2.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Bước 2.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Bước 2.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Bước 2.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Bước 2.2.7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{4}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Bước 2.2.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Bước 2.2.9.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Bước 2.3

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Bước 2.4.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Bước 2.4.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 + 2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 + 2}$

Bước 2.4.1.5

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3 + 2}$

Bước 2.4.1.6

Cộng $3$ và $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{5}$

Bước 2.4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{5}$

Bước 2.4.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{5}$

Bước 2.4.2.1.3

Nhân $8$ với $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{5}$

Bước 2.4.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Cộng $- 2$ và $8$ .

$6 (\frac{1}{5})$

Bước 2.4.2.2.2

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{6}{5}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{6}{5}$ và một điểm đã cho $(1, \ln (5))$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (5)) = \frac{6}{5} \cdot (x - (1))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \ln (5) = \frac{6}{5} \cdot (x - 1)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $\frac{6}{5} \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - \ln (5) = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 1)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \ln (5) = \frac{6}{5} \cdot (x - 1)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \ln (5) = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 1$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $\frac{6}{5}$ và $x$ .

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 1$

Bước 3.3.1.5

Nhân $\frac{6}{5} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Kết hợp $\frac{6}{5}$ và $- 1$ .

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 1}{5}$

Bước 3.3.1.5.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Bước 3.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5}$

Bước 3.3.2

Cộng $\ln (5)$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5} + \ln (5)$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để viết $\ln (5)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5} + \ln (5) \cdot \frac{5}{5}$

Bước 3.3.3.2

Kết hợp $\ln (5)$ và $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5} + \frac{\ln (5) \cdot 5}{5}$

Bước 3.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + \ln (5) \cdot 5}{5}$

Bước 3.3.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.1

Nhân $\ln (5) \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.1.1

Sắp xếp lại $\ln (5)$ và $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + 5 \cdot \ln (5)}{5}$

Bước 3.3.3.4.1.2

Rút gọn $5 \cdot \ln (5)$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + \ln (5^{5})}{5}$

Bước 3.3.3.4.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + \ln (3125)}{5}$

Bước 3.3.3.5

Viết lại $- 6$ ở dạng $- 1 (6)$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 1 (6) + \ln (3125)}{5}$

Bước 3.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln (3125)$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 1 (6) - 1 (- \ln (3125))}{5}$

Bước 3.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (6) - 1 (- \ln (3125))$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 1 (6 - \ln (3125))}{5}$

Bước 3.3.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6 - \ln (3125)}{5}$

Bước 3.3.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{6 - \ln (3125)}{5}$

Bước 4