Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{x}{1 + x})}^{5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = \frac{x}{1 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{1 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{1 + x}$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 1 + x$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $1 + x$ với $1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.7.2

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.7.3

Cộng $1$ và $0$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3.7.4

Kết hợp $\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$ và $5$ .

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} {(\frac{x}{1 + x})}^{4}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{1 + x}$ .

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $\frac{5}{{(1 + x)}^{2}}$ với $\frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2} {(1 + x)}^{4}}$

Bước 4.2.2

Nhân ${(1 + x)}^{2}$ với ${(1 + x)}^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2 + 4}}$

Bước 4.2.2.2

Cộng $2$ và $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{6}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$