Giải tích Ví dụ

$\int_{a}^{b} \frac{g (x)}{| g (x) | \sqrt{{(g (x))}^{2} - 1}} d x$

Bước 1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x}{| g x | \sqrt{{(g x)}^{2} - 1^{2}}} d x]$

Bước 1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = g x$ và $b = 1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Bước 2

Nhân $\frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ với $\frac{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Bước 3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ với $\frac{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Bước 3.2

Di chuyển $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Bước 3.3

Nâng $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Bước 3.4

Nâng $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1})} d x]$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1 + 1}} d x]$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}} d x]$

Bước 3.7

Viết lại ${\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}$ ở dạng $(g x + 1) (g x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ ở dạng ${((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {({((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x]$

Bước 3.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x]$

Bước 3.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Bước 3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Bước 3.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{1}} d x]$

Bước 3.7.5

Rút gọn.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ((g x + 1) (g x - 1))} d x]$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Bước 4.2

Di chuyển $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Bước 4.3

Nâng $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Bước 4.4

Nâng $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1})} d x]$

Bước 4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1 + 1}} d x]$

Bước 4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}} d x]$

Bước 4.7

Viết lại ${\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}$ ở dạng $(g x + 1) (g x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ ở dạng ${((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {({((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x]$

Bước 4.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x]$

Bước 4.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Bước 4.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Bước 4.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{1}} d x]$

Bước 4.7.5

Rút gọn.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ((g x + 1) (g x - 1))} d x]$

Bước 4.8

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (g x + 1) (g x - 1)} d x]$

Bước 5

Lấy đạo hàm của $\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (g x + 1) (g x - 1)} d x$ đối với $b$ bằng định lý cơ bản của giải tích.

$\frac{g b \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{| g b | (g b + 1) (g b - 1)}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{g b \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(| g b | (g b) + | g b | \cdot 1) (g b - 1)}$

Bước 6.2

Nhân $| g b |$ với $1$ .

$\frac{g b \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(| g b | (g b) + | g b |) (g b - 1)}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) (| g b | (g b) + | g b |)}$

Bước 6.4

Đưa $| g b |$ ra ngoài $| g b | (g b) + | g b |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân với $1$ .

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) (| g b | (g b) + | g b | \cdot 1)}$

Bước 6.4.2

Đưa $| g b |$ ra ngoài $| g b | (g b) + | g b | \cdot 1$ .

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) (| g b | (g b + 1))}$

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) | g b | (g b + 1)}$

Bước 6.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) | g b | (g b + 1)}$ .

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{| g b | (g b - 1) (g b + 1)}$