Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

Bước 1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$n (n + 1) (2 n + 1)$

Bước 3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Bước 3.1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Nhân $n$ với $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Bước 3.1.3.2

Nhân $n$ với $1$ .

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

Bước 3.2

Khai triển $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

Bước 3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

Bước 3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Bước 3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Bước 3.3.1.2

Nhân $n^{2}$ với $n$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Di chuyển $n$ .

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $n$ với $n^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.2.1

Nâng $n$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Bước 3.3.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Bước 3.3.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Bước 3.3.1.3

Nhân $n^{2}$ với $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

Bước 3.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

Bước 3.3.1.5

Nhân $n$ với $n$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Di chuyển $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

Bước 3.3.1.5.2

Nhân $n$ với $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

Bước 3.3.1.6

Nhân $n$ với $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

Bước 3.3.2

Cộng $n^{2}$ và $2 n^{2}$ .

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$