Giải tích Ví dụ

$\int (3 \sec^{2} (4 x) + 3 \csc^{2} (4 x)) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int 3 \sec^{2} (4 x) + 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 \sec^{2} (4 x) d x + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \sec^{2} (4 x) d x + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = 4 x$ . Sau đó $d u_{1} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 4.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$3 \int \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Bước 5

Kết hợp $\sec^{2} (u_{1})$ và $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Bước 6

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{4} \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $3$ .

$\frac{3}{4} \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Bước 8

Vì đạo hàm của $\tan (u_{1})$ là $\sec^{2} (u_{1})$ , tích phân của $\sec^{2} (u_{1})$ là $\tan (u_{1})$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Bước 9

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \csc^{2} (4 x) d x$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = 4 x$ . Sau đó $d u_{2} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 10.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Bước 11

Kết hợp $\csc^{2} (u_{2})$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Bước 12

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Bước 13

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $3$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \frac{3}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 14

Vì đạo hàm của $- \cot (u_{2})$ là $\csc^{2} (u_{2})$ , tích phân của $\csc^{2} (u_{2})$ là $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \frac{3}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

$\frac{3}{4} \tan (u_{1}) + \frac{3}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

Bước 15.2

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $\cot (u_{2})$ .

$\frac{3}{4} \tan (u_{1}) - \frac{3 \cot (u_{2})}{4} + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3 \cot (u_{2})}{4} + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x$ .

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3 \cot (4 x)}{4} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3}{4} \cot (4 x) + C$