Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} + 4}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{2}{3} \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{2 \sec^{2} (t)}{3}$ dương.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 {(\frac{2}{3} \tan (t))}^{2} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 {(\frac{2 \tan (t)}{3})}^{2} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2 \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{{(2 \tan (t))}^{2}}{3^{2}} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{2^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{4 \tan^{2} (t)}{3^{2}} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{4 \tan^{2} (t)}{9} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{4 \tan^{2} (t)}{9} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.4

Viết lại $4 \sec^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) (2 \sec (t))} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2 \tan (t)}{3} (2 \sec (t))} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{2 \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{2 (2 \tan (t))}{3} \sec (t)} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{4 \tan (t)}{3} \sec (t)} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.2.4

Kết hợp $\frac{4 \tan (t)}{3}$ và $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{4 \tan (t) \sec (t)}{3}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.2.5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{4 \tan (t) \sec (t)}{3}$ .

$\int 1 \frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)} \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.2.6

Nhân $\frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)}$ với $1$ .

$\int \frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 2.2.7

Nhân $\frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)}$ với $\frac{2 \sec^{2} (t)}{3}$ .

$\int \frac{3 (2 \sec^{2} (t))}{4 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

Bước 2.2.8

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{4 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

Bước 2.2.9

Nhân $3$ với $4$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{12 \tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{12 \tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $12 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (2 \tan (t) \sec (t))} d t$

Bước 2.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (2 \tan (t) \sec (t))} d t$

Bước 2.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec^{2} (t)$ và $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.2.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $2 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (2 \tan (t))} d t$

Bước 2.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (2 \tan (t))} d t$

Bước 2.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec (t)}{2 \tan (t)} d t$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\tan (t)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Bước 4.2

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Bước 4.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Bước 4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Bước 4.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \csc (t) d t$

Bước 5

Tích phân của $\csc (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (\arctan (\frac{3 x}{2})) - \cot (\arctan (\frac{3 x}{2})) |) + C$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (\arctan (\frac{3}{2} x)) - \cot (\arctan (\frac{3}{2} x)) |) + C$