Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{11} \frac{1}{\sqrt[3]{11 - x}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 11 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 11 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 1.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 11 - x$ .

$u_{lower} = 11 - 0$

Bước 1.3

Trừ $0$ khỏi $11$ .

$u_{lower} = 11$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 11 - x$ .

$u_{upper} = 11 - 1 \cdot 11$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 1$ với $11$ .

$u_{upper} = 11 - 11$

Bước 1.5.2

Trừ $11$ khỏi $11$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 11$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{11}^{0} \frac{- 1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{11}^{0} - \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{11}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \int_{11}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int_{11}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{11}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$- \int_{11}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \int_{11}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{11}^{0})$

Bước 6

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $u^{\frac{2}{3}}$ .

$- (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{11}^{0})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ tại $0$ và tại $11$ .

$- ((\frac{3 \cdot 0^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$- (\frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{3 \cdot 0^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.5

Nhân $3$ với $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{0}{1} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.6.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- (0 - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Bước 7.2.7

Trừ $\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$ khỏi $0$ .

$- - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$

Bước 7.2.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$

Bước 7.2.9

Nhân $\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$ với $1$ .

$\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$

Dạng thập phân:

$7.41913116 \dots$

Bước 9