Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 3.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $u$ tại $1$ và tại $0$ .

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Bước 9.2

Tính $\frac{u^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Cộng $1$ và $0$ .

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 9.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 9.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 9.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 9.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 9.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

Bước 9.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

Bước 9.3.6

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$1 - \frac{1}{3}$

Bước 9.3.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 9.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 - 1}{3}$

Bước 9.3.9

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{6}$