Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} \arctan (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arctan (x)$ và $d v = x^{2}$ .

$\arctan (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\arctan (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\arctan (x)$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 4

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Chia $x^{3}$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Bước 5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + 0 + x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Bước 5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Bước 5.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Bước 5.7

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 10

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 10.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 10.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 10.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Bước 11.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{2 u} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Bước 13

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\arctan (x)$ .

$\frac{\arctan (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Bước 14.2.2

Kết hợp $\frac{\arctan (x)}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Bước 14.2.3

Để viết $- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot \frac{3}{3} + C$

Bước 14.2.4

Kết hợp $- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |))$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

Bước 14.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

Bước 14.2.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

Bước 14.2.7

Kết hợp $\ln (| u |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2}) \cdot 3}{3} + C$

Bước 14.2.8

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Bước 14.2.9

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Bước 14.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Bước 14.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Bước 14.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Bước 14.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Bước 14.2.10.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2})}{3} + C$

Bước 16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}}{3} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} (\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |))) + C$