Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} (2 x - 3 \sqrt{x}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{1}^{4} 2 x - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 6

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Bước 7

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $1$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $4$ và tại $1$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.2.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.4

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.5

Kết hợp $8$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.7.1

Nhân $8$ với $2$ .

$2 \frac{16 - 1}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.7.2

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$2 (\frac{15}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.8

Kết hợp $2$ và $\frac{15}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.9

Nhân $2$ với $15$ .

$\frac{30}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $30$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{15}{1} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.10.2.4

Chia $15$ cho $1$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.11

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.12

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.13

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.13.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.13.2

Viết lại biểu thức.

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.14

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.15

Nhân $2$ với $8$ .

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Bước 9.2.3.17

Nhân $2$ với $1$ .

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 9.2.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$15 - 3 \frac{16 - 2}{3}$

Bước 9.2.3.19

Trừ $2$ khỏi $16$ .

$15 - 3 (\frac{14}{3})$

Bước 9.2.3.20

Kết hợp $- 3$ và $\frac{14}{3}$ .

$15 + \frac{- 3 \cdot 14}{3}$

Bước 9.2.3.21

Nhân $- 3$ với $14$ .

$15 + \frac{- 42}{3}$

Bước 9.2.3.22

Triệt tiêu thừa số chung của $- 42$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.22.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 42$ .

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3}$

Bước 9.2.3.22.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.22.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3 (1)}$

Bước 9.2.3.22.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3 \cdot 1}$

Bước 9.2.3.22.2.3

Viết lại biểu thức.

$15 + \frac{- 14}{1}$

Bước 9.2.3.22.2.4

Chia $- 14$ cho $1$ .

$15 - 14$

Bước 9.2.3.23

Trừ $14$ khỏi $15$ .

$1$

Bước 10