Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = - \frac{1}{x}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , nên $x^{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = - \frac{1}{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3.3.2

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Bước 2.1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Bước 2.1.3.5.2

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$x^{- 2}$

Bước 2.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Bước 2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Bước 2.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

Bước 3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

Bước 4

Tính $e^{u}$ tại $- \frac{1}{t}$ và tại $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Bước 5.1.2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Bước 5.1.3

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Bước 5.2

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{t}$ tiến dần đến $0$ .

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Bước 5.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính giới hạn của $e^{- 1}$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{- 0} - e^{- 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e^{0} - e^{- 1}$

Bước 5.3.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Bước 5.3.2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$1 - \frac{1}{e}$

Dạng thập phân:

$0.63212055 \dots$