Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{4} (1 + 3 x - x^{2}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{4} 1 + 3 x - x^{2} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$x]_{0}^{4} + 3 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{2} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $x$ tại $4$ và tại $0$ .

$(4) + 0 + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $0$ .

$4 + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Bước 9.2.3

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $0$ .

$4 + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Cộng $4$ và $0$ .

$4 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$4 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.3.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$4 + 3 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 + 3 (8 - \frac{0}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$4 + 3 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$4 + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 + 3 (8 - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.5.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$4 + 3 (8 - 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$4 + 3 (8 + 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.7

Cộng $8$ và $0$ .

$4 + 3 \cdot 8 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.8

Nhân $3$ với $8$ .

$4 + 24 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.9

Cộng $4$ và $24$ .

$28 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.10

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 9.2.4.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 9.2.4.12

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 9.2.4.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 9.2.4.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 9.2.4.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 9.2.4.12.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$28 - (\frac{64}{3} - 0)$

Bước 9.2.4.13

Nhân $- 1$ với $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} + 0)$

Bước 9.2.4.14

Cộng $\frac{64}{3}$ và $0$ .

$28 - \frac{64}{3}$

Bước 9.2.4.15

Để viết $28$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$28 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3}$

Bước 9.2.4.16

Kết hợp $28$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3}$

Bước 9.2.4.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{28 \cdot 3 - 64}{3}$

Bước 9.2.4.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.18.1

Nhân $28$ với $3$ .

$\frac{84 - 64}{3}$

Bước 9.2.4.18.2

Trừ $64$ khỏi $84$ .

$\frac{20}{3}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{20}{3}$

Dạng thập phân:

$6.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$6 \frac{2}{3}$

Bước 11