Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + x^{5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 4 x^{3} + x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{3}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 5 x^{4}$

Bước 1.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{4}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Bước 2.2.3

Nhân $4$ với $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$20 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$20 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 x^{2}$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$20 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $20 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $20 x^{3}$ đối với $x$ là $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 3.2.3

Nhân $3$ với $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{2}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$60 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 3.3.3

Nhân $2$ với $12$ .

$60 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 x$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} + 24 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$60 x^{2} + 24 x - 24 \cdot 1$

Bước 3.4.3

Nhân $- 24$ với $1$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + 24 x - 24$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $60 x^{2} + 24 x - 24$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $60$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $60 x^{2}$ đối với $x$ là $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Bước 4.2.3

Nhân $2$ với $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $24 x$ đối với $x$ là $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$120 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Bước 4.3.3

Nhân $24$ với $1$ .

$120 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Vì $- 24$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 24$ đối với $x$ là $0$ .

$120 x + 24 + 0$

Bước 4.4.2

Cộng $120 x + 24$ và $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x + 24$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $120 x + 24$ .

$120 x + 24$