Giải tích Ví dụ

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x + 0) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11.4

Kết hợp $\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ và $x$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x))}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{1}))}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 15

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 16

Đưa $2$ ra ngoài $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17.4

Chia $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ cho $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 19

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Bước 20

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1

Di chuyển ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Bước 20.1.2

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Bước 20.1.3

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $- {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{x^{2}}$

Bước 20.1.4

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{x^{2}}$

Bước 20.2

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{1})}{x^{2}}$

Bước 20.3

Rút gọn.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Bước 20.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)}{x^{2}}$

Bước 20.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Bước 20.6

Trừ $x^{2}$ khỏi $3 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}$