Giải tích Ví dụ

$\int_{4}^{\infty} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x - 3$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Bước 2.3

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{upper} = t - 3$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = t - 3$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $u^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 3.2.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Bước 3.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Bước 3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{t - 3}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ tại $t - 3$ và tại $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Bước 6.1.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Bước 6.1.3

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t - 3)}^{\frac{1}{2}}} + lim_{t \to \infty} 2$

Bước 6.1.3.2

Viết lại ${(t - 3)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{t - 3}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t - 3}} + lim_{t \to \infty} 2$

Bước 6.2

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{\sqrt{t - 3}}$ tiến dần đến $0$ .

$- 2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} 2$

Bước 6.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 2 \cdot 0 + 2$

Bước 6.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $- 2$ với $0$ .

$0 + 2$

Bước 6.3.2.2

Cộng $0$ và $2$ .

$2$