Giải tích Ví dụ

${(2 y + 1)}^{3} - 24 x = - 3$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(2 y + 1)}^{3} - 24 x) = \frac{d}{d x} (- 3)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$\frac{d}{d x} [{(2 y)}^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [2^{3} y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (2^{2} y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (4 y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2.1.5

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2.1.6

Nhân $12$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2.1.7

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1 + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2.1.9

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1^{3} - 24 x]$

Bước 2.2.1.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x]$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 y^{3}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$8 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$8 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.3.4

Nhân $3$ với $8$ .

$24 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 y^{2}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$24 y^{2} y' + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.4.4

Nhân $2$ với $12$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 y$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.5.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Bước 2.7

Tính $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 x$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \cdot 1$

Bước 2.7.3

Nhân $- 24$ với $1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24$

Bước 2.8

Cộng $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ và $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24$

Bước 3

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24 = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $24$ cho cả hai vế của phương trình.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' = 24$

Bước 5.2

Đưa $6 y'$ ra ngoài $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $6 y'$ ra ngoài $24 y^{2} y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 24 y y' + 6 y' = 24$

Bước 5.2.2

Đưa $6 y'$ ra ngoài $24 y y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' = 24$

Bước 5.2.3

Đưa $6 y'$ ra ngoài $6 y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Bước 5.2.4

Đưa $6 y'$ ra ngoài $6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y)$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Bước 5.2.5

Đưa $6 y'$ ra ngoài $6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y + 1) = 24$

Bước 5.3

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $4 y^{2}$ ở dạng ${(2 y)}^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1) = 24$

Bước 5.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1^{2}) = 24$

Bước 5.3.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Bước 5.3.4

Viết lại đa thức này.

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}) = 24$

Bước 5.3.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = 2 y$ và $b = 1$ .

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ cho $6 {(2 y + 1)}^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ cho $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung ${(2 y + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $24$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $24$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Bước 5.4.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 ({(2 y + 1)}^{2})}$

Bước 5.4.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Bước 5.4.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$