Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} (\frac{x^{2}}{2} - x + 3) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{2}}{2} - x + 3 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{2}}{2} d x + \int_{1}^{4} - x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 x]_{1}^{4}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3}$ tại $4$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 x]_{1}^{4}$

Bước 9.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 x]_{1}^{4}$

Bước 9.3

Tính $3 x$ tại $4$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.6

Trừ $1$ khỏi $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.7

Triệt tiêu thừa số chung của $63$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.7.2.4

Chia $21$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 21 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $21$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.9

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{21}{2} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{21}{2} - (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.10.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$\frac{21}{2} - (8 - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{21}{2} - (8 - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.12

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} - (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.13

Kết hợp $8$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{21}{2} - \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.15.1

Nhân $8$ với $2$ .

$\frac{21}{2} - \frac{16 - 1}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.15.2

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$\frac{21}{2} - \frac{15}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{21 - 15}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.17

Trừ $15$ khỏi $21$ .

$\frac{6}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.18

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.18.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.19

Nhân $3$ với $4$ .

$3 + 12 - 3 \cdot 1$

Bước 9.4.20

Nhân $- 3$ với $1$ .

$3 + 12 - 3$

Bước 9.4.21

Trừ $3$ khỏi $12$ .

$3 + 9$

Bước 9.4.22

Cộng $3$ và $9$ .

$12$

Bước 10