Giải tích Ví dụ

$y = \arccos (\frac{1}{x})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arccos (\frac{1}{x}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arccos (x)$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\arccos (u)$ đối với $u$ là $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2})$

Bước 3.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Bước 3.2.3.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Bước 3.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ và $x^{- 2}$ .

$\frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$

Bước 3.2.3.4

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}}$

Bước 3.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}}$

Bước 3.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$