Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ và $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.3

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.6

Quy đổi từ $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ sang $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cot^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 6

Vì đạo hàm của $- \cot (t)$ là $\csc^{2} (t)$ , tích phân của $\csc^{2} (t)$ là $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Bước 7

Rút gọn.

$- t - \cot (t) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$