Giải tích Ví dụ

$\int x \cdot f (\ln (x)) d x$

Bước 1

Nhân $x$ với $f \ln (x)$ .

$\int x (f \ln (x)) d x$

Bước 2

Vì $f$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $f$ ra khỏi tích phân.

$f \int x (\ln (x)) d x$

Bước 3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x$ .

$f (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4.2

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Bước 4.4

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Bước 4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Bước 4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Bước 4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Bước 4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Bước 7.2

Viết lại $f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ ở dạng $f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$