Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 2 \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $4 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $2 \sec (t)$ ra ngoài $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Bước 3

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Bước 4

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

Bước 8

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Bước 11

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Bước 12

Kết hợp $- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ và $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $- t + \tan (t)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $0$ .

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Bước 13.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Bước 13.2.2

Cộng $0$ và $\tan (0)$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Bước 14.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Bước 14.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Bước 14.4

Cộng $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ và $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

Bước 15.2

Nhân $2 (- \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Bước 15.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{π}{3}$ .

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Bước 15.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$1.36970651 \dots$

Bước 17