Giải tích Ví dụ

$\ln (1 + \frac{a}{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{a}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Bước 2.4

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{a}{x}$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 2.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp $a$ và $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.5.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})$

Bước 2.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Kết hợp $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ và $x^{- 2}$ .

$- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}$

Bước 2.7.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Bước 3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{a}{x}$ và $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $a x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}$

Bước 3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}$

Bước 3.2.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Bước 3.2.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Bước 3.2.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}$

Bước 3.2.3.2.5

Chia $a x$ cho $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + a x}$

Bước 3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + a x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + a x}$

Bước 3.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $a x$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + x a}$

Bước 3.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x a$ .

$- \frac{a}{x (x + a)}$