Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 4} \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 6

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{16 - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.2

Nhân $- 3$ với $4$ .

$\sqrt{\frac{16 - 12 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.3

Trừ $12$ khỏi $16$ .

$\sqrt{\frac{4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.4

Cộng $4$ và $4$ .

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 16 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.6

Nhân $2$ với $16$ .

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1}}$

Bước 12.8

Trừ $4$ khỏi $32$ .

$\sqrt{\frac{8}{28 - 1}}$

Bước 12.9

Trừ $1$ khỏi $28$ .

$\sqrt{\frac{8}{27}}$

Bước 12.10

Viết lại $\sqrt{\frac{8}{27}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$ .

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$

Bước 12.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.11.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.11.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{27}}$

Bước 12.11.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{27}}$

Bước 12.11.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{27}}$

Bước 12.12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.12.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.12.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{9 (3)}}$

Bước 12.12.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Bước 12.12.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 12.13

Nhân $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 12.14

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.14.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 12.14.2

Di chuyển $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Bước 12.14.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Bước 12.14.4

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Bước 12.14.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 12.14.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 12.14.7

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.14.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 12.14.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 12.14.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.14.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.14.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.14.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Bước 12.14.7.5

Tính số mũ.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Bước 12.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.15.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3 \cdot 3}$

Bước 12.15.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Bước 12.16

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Dạng thập phân:

$0.54433105 \dots$