Giải tích Ví dụ

$\int \cos^{2} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (x)$ và $d v = \cos (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) - \int \sin (x) (- \sin (x)) d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin (x) (\sin (x)) d x$

Bước 4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Bước 5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (x) \sin (x) - - \int {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{2} (x) d x$

Bước 8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\cos (x) \sin (x) + 1 \int \sin^{2} (x) d x$

Bước 9

Nhân $\int \sin^{2} (x) d x$ với $1$ .

$\cos (x) \sin (x) + \int \sin^{2} (x) d x$

Bước 10

Nhân với $1$ .

$\cos (x) \sin (x) + \int \sin^{2} (x) \cdot 1 d x$

Bước 11

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin^{2} (x)$ và $d v = 1$ .

$\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x - \int x \sin (2 x) d x$

Bước 12

Khi giải tìm $\int \cos^{2} (x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int \cos^{2} (x) d x$ = $\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2} + C$

Bước 13

Viết lại $\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2} + C$ ở dạng $\frac{1}{2} (\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x) + C$ .

$\frac{1}{2} (\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x) + C$