Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 3 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 3 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $3 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $9 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\int d t$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$t + C$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\arcsin (\frac{x}{3}) + C$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\arcsin (\frac{1}{3} x) + C$