Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x^{- 3}$ ra ngoài $x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $x^{- 3}$ ra ngoài $x^{- 1}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Bước 1.1.2

Đưa $x^{- 3}$ ra ngoài $- x^{- 2}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Bước 1.1.3

Nhân với $1$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Bước 1.1.4

Đưa $x^{- 3}$ ra ngoài $x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x)$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Bước 1.1.5

Đưa $x^{- 3}$ ra ngoài $x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x + 1)}{x^{2}} d x$

Bước 1.2

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} x^{3}} d x$

Bước 1.3

Nhân $x^{2}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2 + 3}} d x$

Bước 1.3.2

Cộng $2$ và $3$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{5}} d x$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $x^{5}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Bước 2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{- 5} d x$

Bước 3

Khai triển $(x^{2} - x + 1) x^{- 5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} - x) x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} x^{- 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2 - 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Bước 3.4

Trừ $5$ khỏi $2$ .

$\int x^{- 3} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Bước 3.5

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int x^{- 3} - (x \cdot x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Bước 3.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{- 3} - (x^{1} x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Bước 3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{- 3} - x^{1 - 5} + 1 x^{- 5} d x$

Bước 3.8

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + 1 x^{- 5} d x$

Bước 3.9

Nhân $x^{- 5}$ với $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + x^{- 5} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{- 3} d x + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $x^{- 3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Bước 8.2

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int x^{- 5} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Bước 10

Rút gọn.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$