Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ dương.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1 + \tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.7

Viết lại $9 \sec^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $\frac{1}{3 \sec (t)}$ với $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{6 \sec (t)} d t$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{6 \sec (t)} d t$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{3 (2 \sec (t))} d t$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 (2 \sec (t))} d t$

Bước 2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec^{2} (t)}{2 \sec (t)} d t$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec^{2} (t)$ và $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \sec (t)} d t$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t)}{2} d t$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1.27933953} \sec (t) d t$

Bước 4

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{1.27933953}$

Bước 5

Tính $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ tại $1.27933953$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Bước 6.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$

Bước 6.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})}{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

$\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ xấp xỉ $6.8134355$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{| 1 |})}{2}$

Bước 7.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{1})}{2}$

Bước 7.3

Chia $\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ cho $1$ .

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Dạng thập phân:

$0.95944823 \dots$

Bước 9