Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 3.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 3.1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 3.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 3.1.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.1.10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Bước 3.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Bước 4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

Bước 5

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

Bước 7

Tính $e^{u}$ tại $- t^{\frac{1}{2}}$ và tại $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

Bước 8

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Chuyển số hạng $- 2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

Bước 8.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Bước 8.2

Vì số mũ $- t^{\frac{1}{2}}$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ tiến dần đến $0$ .

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Bước 8.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Tính giới hạn của $e^{- 1}$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 2 (0 - e^{- 1})$

Bước 8.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

Bước 8.3.2.2

Trừ $\frac{1}{e}$ khỏi $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{e})$

Bước 8.3.2.3

Nhân $- 2 (- \frac{1}{e})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \frac{1}{e}$

Bước 8.3.2.3.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{e}$

Dạng thập phân:

$0.73575888 \dots$