Giải tích Ví dụ

$y = \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{2}} + \frac{c}{x^{3}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{a}{x} - \frac{b}{x^{2}} + \frac{c}{x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{a}{x}$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$a (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{b}{x^{2}}$ đối với $x$ là $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$a (- x^{- 2}) - b (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a (- x^{- 2}) - b (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 3.10

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{c}{x^{3}}$ đối với $x$ là $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{3}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{3}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Bước 4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Bước 4.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Bước 4.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Bước 4.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Bước 4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 x^{2 - 6})$

Bước 4.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 x^{- 4})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a (- \frac{1}{x^{2}}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 x^{- 4})$

Bước 5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a (- \frac{1}{x^{2}}) + 2 b \frac{1}{x^{3}} + c (- 3 x^{- 4})$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a (- \frac{1}{x^{2}}) + 2 b \frac{1}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Bước 5.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Kết hợp $a$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + 2 b \frac{1}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Bước 5.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + b \frac{2}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Bước 5.4.3

Kết hợp $b$ và $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{b \cdot 2}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Bước 5.4.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $b$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 \cdot b}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Bước 5.4.5

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 b}{x^{3}} + c \frac{- 3}{x^{4}}$

Bước 5.4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 b}{x^{3}} + c (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 5.4.7

Kết hợp $c$ và $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 b}{x^{3}} - \frac{c \cdot 3}{x^{4}}$

Bước 5.4.8

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $c$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 b}{x^{3}} - \frac{3 c}{x^{4}}$