Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x}{x^{2} + x^{4} + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + x^{4} + 1$ . Sau đó $d u = (4 x^{3} + 2 x) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = (2 x^{3} + x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + x^{4} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x^{4} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + x^{4} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$2 x + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 4 x^{3} + 0$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Cộng $2 x + 4 x^{3}$ và $0$ .

$2 x + 4 x^{3}$

Bước 1.1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 x^{3} + 2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + x^{4} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0^{4} + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0^{4} + 1$

Bước 1.3.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + x^{4} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1^{4} + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 1^{4} + 1$

Bước 1.5.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 1 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Bước 1.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$u_{upper} = 3$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int_{1}^{3} \frac{1}{2 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{3}$

Bước 5

Tính $\ln (| u |)$ tại $3$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})}{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{\ln (\frac{3}{| 1 |})}{2}$

Bước 7.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{\ln (\frac{3}{1})}{2}$

Bước 7.3

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{\ln (3)}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (3)}{2}$

Dạng thập phân:

$0.54930614 \dots$

Bước 9