Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Bước 1.1.2.2

Vì số mũ $x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $2^{x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Bước 1.1.2.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Bước 1.1.2.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{\infty - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Bước 1.1.2.3.2.2

Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + lim_{x \to \infty} 7}$

Bước 1.1.3.2

Vì số mũ $x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $2^{x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 7}$

Bước 1.1.3.3

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 7}$

Bước 1.1.3.4

Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.1.3.5

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2^{x} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Bước 1.3.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Bước 1.3.5

Cộng $2^{x} \ln (2)$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Bước 1.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2^{x} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]}$

Bước 1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [7]}$

Bước 1.3.8

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

Bước 1.3.9

Cộng $2^{x} \ln (2)$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $2^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Bước 1.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} 1$

Bước 2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$1$