Giải tích Ví dụ

$y = x^{2 x}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2 x})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy đạo hàm bằng cách dùng công thức đạo hàm hàm lũy thừa, công thức phát biểu rằng $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ bằng $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ khi $f = x$ và $g = 2 x$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x \cdot x^{2 x - 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Bước 3.2

Nhân $x$ với $x^{2 x - 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển $x^{2 x - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x)) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Bước 3.2.2

Nhân $x^{2 x - 1}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x^{1})) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Bước 3.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x - 1 + 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Bước 3.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x + 0}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Bước 3.2.3.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x' (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Bước 3.4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x' (2 x^{2 x}) + 2 \frac{d}{d y} [x] (x^{2 x} \ln (x))$

Bước 3.5

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x' (2 x^{2 x}) + 2 x' (x^{2 x} \ln (x))$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$ .

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$

Bước 5.2

Rút gọn $2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x' = 1$

Bước 5.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x'$ .

$2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Bước 5.3

Đưa $x' x^{2 x}$ ra ngoài $2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $x' x^{2 x}$ ra ngoài $2 x' x^{2 x}$ .

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Bước 5.3.2

Đưa $x' x^{2 x}$ ra ngoài $x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ .

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Bước 5.3.3

Đưa $x' x^{2 x}$ ra ngoài $x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ .

$x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ cho $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ cho $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ .

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 + \ln (x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$