Giải tích Ví dụ

$\int (\frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}}) d x = 10 \sqrt{x} - 2 x \sqrt{5} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = \sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.1.2.2

Vì $\sqrt{5}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\sqrt{5}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 3.1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 3.1.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 3.1.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 3.1.3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.1.3.9

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.1.4

Trừ $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Bước 4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int - 2 u^{2} d u$

Bước 5

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 \int u^{2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{3} + C$

Bước 7.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3} u^{3} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$