Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 6

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 9

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 9.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Khai triển $(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.2

Nhân $- \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.2.1.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.3

Nhân $- \cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.2.1.3.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.3.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.4

Nhân $- \cos (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.1.4.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.2.3

Cộng $\cos (x) \sin (x)$ và $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.7.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.7.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.7.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{\sin (2 x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.7.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.8

Khai triển $(- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.9.1.1

Nhân $- \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.9.1.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9.1.2

Nhân $- \cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.9.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.9.3

Trừ $\cos (x) \sin (x)$ khỏi $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.13

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.1.14

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.2.2

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.5

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin (2 x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.9

Viết lại $- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ ở dạng $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ .

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Bước 10.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$