Giải tích Ví dụ

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 t$

Bước 2.3

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{u}]_{2 t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $e^{u}$ tại $0$ và tại $2 t$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

Bước 7.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

Bước 8

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

Bước 8.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Bước 8.1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Bước 8.2

Vì số mũ $2 t$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{2 t}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Trừ $0$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 8.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$